在数学分析中，不定积分是解决函数原函数问题的重要工具之一。今天，我们来探讨一个经典的问题——如何求解arctanx的不定积分。

首先，我们需要明确积分的目标形式。对于函数arctanx，其不定积分的形式为：

\[ \int \arctan x \, dx \]

为了求解这一积分，我们可以采用分部积分法。分部积分法的基本公式为：

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

在这里，我们将u设为arctanx，dv设为dx。那么，对应的du和v分别为：

\[ u = \arctan x \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{1+x^2} \, dx \]

\[ dv = dx \quad \Rightarrow \quad v = x \]

将这些代入分部积分公式：

\[ \int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx \]

接下来，我们处理剩余的积分部分 \(\int \frac{x}{1+x^2} \, dx\)。这里可以使用变量替换的方法。令 \( t = 1 + x^2 \)，则 \( dt = 2x \, dx \)，即 \( \frac{dt}{2} = x \, dx \)。因此：

\[ \int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} \ln |t| + C = \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C \]

将结果代回原式：

\[ \int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C \]

综上所述，arctanx的不定积分为：

\[ \boxed{\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C} \]

这种方法不仅展示了分部积分法的应用，还结合了变量替换技巧，是解决此类问题的经典方法。希望本文对你有所帮助！