【关于向量的所有公式】向量是数学和物理中非常重要的概念，广泛应用于几何、力学、工程、计算机图形学等领域。掌握向量的基本公式对于理解相关领域的知识具有重要意义。以下是对向量常用公式的总结，以文字加表格的形式呈现，便于查阅与学习。
一、向量的基本概念
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示，也可以用坐标形式表示。在二维空间中，向量可以表示为 $ \vec{a} = (a_x, a_y) $；在三维空间中，则为 $ \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) $。
二、向量的基本运算公式
| 运算类型 | 公式 | 说明 | ||
| 向量加法 | $ \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z) $ | 对应分量相加 | ||
| 向量减法 | $ \vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z) $ | 对应分量相减 | ||
| 数乘向量 | $ k\vec{a} = (ka_x, ka_y, ka_z) $ | 向量乘以标量k | ||
| 向量模长 | $ | \vec{a} | = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $ | 向量的长度 |
| 单位向量 | $ \hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | } $ | 方向与原向量相同，长度为1 |
三、向量的点积（内积）
点积是两个向量之间的一种乘法运算，结果是一个标量。
| 公式 | 说明 | ||||
| $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $ | 分量对应相乘后求和 | ||||
| $ \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta $ | θ为两向量夹角 |
四、向量的叉积（外积）
叉积是两个向量之间的另一种乘法运算，结果是一个向量，其方向垂直于这两个向量所在的平面。
| 公式 | 说明 | ||||||
| $ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} $ | 按行列式展开计算 | ||||||
| $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta $ | 模长等于两向量构成平行四边形的面积 |
五、向量的投影
投影是指一个向量在另一个向量方向上的“影子”，分为数量投影和向量投影。
| 公式 | 说明 | |||
| 数量投影 | $ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | } $ | 向量a在b方向上的长度 |
| 向量投影 | $ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \right) \vec{b} $ | 投影向量 |
六、向量的夹角公式
利用点积可以求出两个向量之间的夹角：
| 公式 | 说明 | ||||
| $ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | } $ | 两向量夹角的余弦值 |
七、向量的正交性
两个向量正交意味着它们的点积为零：
| 条件 | 说明 |
| $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $ | 向量a与向量b互相垂直 |
八、向量的线性组合与基底
向量可以由一组基向量的线性组合表示：
| 表达式 | 说明 |
| $ \vec{v} = a_1 \vec{e}_1 + a_2 \vec{e}_2 + \cdots + a_n \vec{e}_n $ | 向量v表示为基向量的线性组合 |
九、向量在三维空间中的表示
| 类型 | 表示方式 |
| 坐标形式 | $ \vec{a} = (x, y, z) $ |
| 矢量形式 | $ \vec{a} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} $ |
十、向量的其他应用公式
| 应用场景 | 公式 | 说明 |
| 力的合成 | $ \vec{F}_{\text{合}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \cdots $ | 多个力的矢量相加 |
| 速度分解 | $ \vec{v} = v_x \mathbf{i} + v_y \mathbf{j} + v_z \mathbf{k} $ | 将速度分解为各方向分量 |
| 位移向量 | $ \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 $ | 从一点到另一点的位移 |
以上是关于向量的一些基本公式和应用，涵盖了向量的定义、运算、投影、夹角、正交性等多个方面。掌握这些公式有助于更好地理解和应用向量在实际问题中的作用。
